Proposición 10

Enunciado

Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Si $f$ es continua, entonces para cada sucesión $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ convergente a un punto $x$ en $X$, la sucesión $(f(x_n){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $f(x)$.
Si el espacio $X$ es 1AN, entonces también es cierto el recíproco.

Demostración

$(⟹)$ Suponemos que $f$ es continua y tomamos la sucesión $(x_n)\to x$. Queremos ver que $(f(x_n))\to f(x)$. Tomamos $V\in \mathcal{E}(f(x))$, por la continuidad de $f$ en $x$, $\mathrm{\exists }U\in \mathcal{E}(x)$ tal que $f(U)\subset V$. Por otro lado, al la sucesión convergente $\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}$ tal que $x_n\in U\mathrm{\forall }n\ge n_0$, por lo que se deduce que $f(x_n)\in f(U)\subset V\mathrm{\forall }n\ge n_0$, esto es, $(f(x_n))\to f(x)$.

$(⟸)$ Suponemos que $(X,\mathcal{T})$ es $1A\mathbb{N}$. Probar que $f$ es continua es equivalente a probar que $f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}$, por lo visto en la proposición 5.3.. Sea entonces $x\in \bar{A}$, por lo visto en el recíproco de la proposición 9, existe una sucesión $(x_n)\subset A$ de manera que $(x_n)\to x$. Ahora, por hipótesis $(f(x_n))\to f(x)$, teniendo nuevamente por la proposición 9 que $f(x)\in \overline{f(A)}$.